Black-Scholes-i mudel on üks enim kasutatud finantsmudelitest, mida kasutatakse Euroopa optsioonide teoreetiliseks hinnastamiseks. Käesolev artikkel annab põhjaliku ülevaate mudeli toimimisest, selle rakendustest ja piirangutest, mis on olulised nii finantsspetsialistidele kui ka investeerimishuvilistele Eestis.
Sisesta allolevad andmed optsiooni (call) hinna arvutamiseks Black-Scholes mudeli abil:
Teoreetiline taust
Black-Scholes-i mudeli aluseks on mitmed olulised eeldused, mis mõjutavad mudeli täpsust ja kasutusala:
- Efektiivsed turud: Eeldatakse, et turuhinnad sisaldavad kogu olemasolevat informatsiooni ning ei ole võimalik süsteemselt turgu üle mängida.
- Geomeetriline Brown’i liikumine: Alusvara hinnad liiguvad juhuslikult, järgides stohhastilist protsessi, mis annab hinnakõikumiste probabilistliku mudeli.
- Konstantne volatiilsus ja intressimäärad: Volatiilsus ja riskivaba intressimäär ei muutu optsiooni kehtivusaja jooksul.
Need eeldused aitavad luua selge ja matemaatiliselt lahendatava mudeli, kuid samas piiravad selle rakendatavust reaalses maailmas, kus turud võivad olla vähem efektiivsed ja volatiilsus muutlik.
Matemaatilised valemid
Black-Scholes-i mudeli põhivalem call-optsiooni hinnastamiseks on järgmine:
C = S × N(d₁) − X × e−rT × N(d₂)
kus
d₁ = [ln(S/X) + (r + σ²/2) × T] / (σ × √T)d₂ = d₁ − σ × √T- S – alusvara hind
- X – streik-hind (täitmishind)
- r – riskivaba intressimäär (tavaliselt riigivõlakirjade intressimäär)
- T – aeg optsiooni tähtaegani (aastates)
- σ – alusvara hinnakõikumiste volatiilsus
- N(·) – kumulatiivne normaaljaotuse funktsioon, mis annab tõenäosuse, et normaaljaotus on väiksem või võrdne antud väärtusega
Visuaalne selgitus
Allpool olev graafik illustreerib d₁ ja d₂ paiknemist normaaljaotuse kõveral ning nende mõju optsiooni hinnale:
Praktilised näited ja samm-sammuline arvutus
Vaatleme näidet, kus:
- Alusvara hind S on 50 €
- Streik-hind X on 45 €
- Riskivaba intressimäär r on 3% aastas
- Aeg tähtaegani T on 0,5 aastat
- Volatiilsus σ on 25%
Samm 1: Arvutame d₁ ja d₂
d₁ = [ln(50/45) + (0.03 + 0.25² / 2) × 0.5] / (0.25 × √0.5)
d₂ = d₁ − 0.25 × √0.5
Samm 2: Leiame N(d₁) ja N(d₂) kumulatiivsed väärtused normaaljaotuse tabelist või kalkulaatorist.
Samm 3: Arvutame optsiooni hinna C valemi abil:
C = 50 × N(d₁) − 45 × e^(−0.03 × 0.5) × N(d₂)
See samm-sammuline protsess võimaldab hinnata optsiooni õiglast väärtust vastavalt turutingimustele.
Volatiilsuse ja aja mõju
Volatiilsus on üks kõige olulisemaid tegureid, mis mõjutab optsiooni hinda. Kõrgem volatiilsus suurendab optsiooni väärtust, kuna suureneb tõenäosus, et alusvara hind liigub kasulikult omanikule. Samuti mõjutab aeg tähtaegani optsiooni väärtust – mida pikem aeg, seda suurem on optsiooni väärtus (kui kõik muud tingimused on samad), sest on rohkem aega hinnaliikumisteks.
Mudeli piirangud ja alternatiivid
Kuigi Black-Scholes-i mudel on finantsmaailmas laialdaselt kasutusel, on sellel mitmeid piiranguid:
- Ei arvesta dividendimakseid (kuigi on olemas modifitseeritud mudelid).
- Volatiilsus ja intressimäärad on mudelis konstantsed, mis ei pruugi vastata reaalsele turuolukorrale.
- Ei sobi Ameerika optsioonide hindamiseks, kus on võimalik varajane täitmine.
Alternatiivsete mudelitena kasutatakse binomiaalmudelit, Monte Carlo simulatsioone ja teisi stohhastilisi meetodeid, mis võivad paremini kajastada turu keerukust.
Korduma kippuvad küsimused (KKK)
Mis on Black-Scholes-i mudeli peamised eeldused?
Mudel eeldab efektiivset turgu, normaaljaotust alusvara hinnaliikumistes, konstantset volatiilsust ja intressimäära ning optsiooni kasutamist ainult tähtaegsel.
Kuidas mõjutab volatiilsus optsiooni hinda?
Suurem volatiilsus tähendab suuremat hinnakõikumist, mis suurendab optsiooni väärtust, eriti call-optsioonide puhul.
Kas mudelit saab kasutada dividendimaksete puhul?
On olemas modifikatsioonid, mis arvestavad dividende, kuid standardne mudel seda ei tee.
Kokkuvõte
Black-Scholes-i mudel on võimas ja laialdaselt kasutatav finantsmudel Euroopa optsioonide hinnastamiseks. Selle kalkulaatori abil saavad investorid ja finantsanalüütikud teha informeeritud otsuseid ning mõista optsioonide hinnakujunduse peamisi tegureid ja riske.